分形的早期思想是：客观事物通常具有自相似的层次结构，局部与整体在形态或结构方面具有统计意义上的相似性，称为“自相似性”。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。具有自相似性的形态广泛存在于自然界中，如连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、粒子的布朗运动、树冠、叶子、花菜、大脑皮层等等。分形的概念早已从最初所指的形态或结构上具有自相似性的几何对象这种狭义分形,扩展到了功能、信息、时间、空间上等具有自相似性的广义分形。

分形的叶子

分形的花菜

分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的新几何学，但其本质却是一种新的世界观和方法论。相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.54、1.26、2.78等等；分数维数反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。事实上，分形几何更加趋近复杂系统的真实属性和状态描述，更加符合客观事物的多样性和复杂性。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。美国物理学大师约翰·惠勒教授曾经说过：今后谁不熟悉分形几何，谁就不能被称为科学上的文化人。中国著名学者周海中教授曾经指出：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，从而改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。

分形几何除对科学产生深刻影响外，还对文化领域产生了重要影响，如在上世纪70年代后期分形艺术十分流行，尤其曼德尔布罗特的集合图形成了一种文化符号，被大量印制在文化衫、棒球帽和帆布包上。英国《自然》杂志曾经评选出2009年度最佳图片，由数学“极客”丹尼尔·怀特运用计算机绘制出来的曼德尔布罗特集合三维图位居第三。另外，分形艺术中优美丰富的图形可以应用到各种布局中，如舞台设计、园林设计、建筑设计、器型设计等。可以说分形几何搭起了科学与艺术的桥梁。

现在人们可以在书籍里或网络上，浏览和欣赏各种不同风格且优美奇妙的分形图片，这类作品一般是运用迭代法并通过计算机处理表现出来的；有的针对科学研究中要表达的对象，有的则完全是艺术。优美且奇妙的分形图片，有时令人心旷神怡，有时又令人眼花缭乱。下面展现一些用计算机按分形算法生成的精美图片，供大家欣赏。

美妙的分形（1）

美妙的分形（2）

美妙的分形（3）

美妙的分形（4）

美妙的分形（5）

美妙的分形（6）

美妙的分形（7）

美妙的分形（8）

美妙的分形（9）

美妙的分形（10）

美妙的分形（11）

美妙的分形（12）

美妙的分形（13）